Внутренний угол

Геометрическая фигура угол: определение угла, измерение углов, обозначения и примеры

Угол – основная геометрическая фигура, которую разберем на протяжение всей темы. Определения, способы задания, обозначения и измерения угла. Разберем принципы выделения углов на чертежах. Вся теория проиллюстрирована и имеет большое количество наглядных чертежей.

Определение угла

Угол – простая важная фигура в геометрии. Угол напрямую зависит от определения луча, который в свою очередь состоит из базовых понятий точки, прямой и плоскости. Для досконального изучения необходимо углубиться по темам прямая на плоскости – необходимые сведения и плоскость – необходимые сведения.

Понятие угла начинается с понятий о точке, плоскости и прямой, изображенной на этой плоскости.

Дана прямая a на плоскости. На ней обозначим некоторую точку O . Прямая разделена точкой на две части, каждая из которых имеет название луч, а точка O – начало луча.

Иначе говоря, луч или полупрямая – это часть прямой, состоящая из точек заданной прямой, расположенных на одной стороне относительно начальной точки, то есть точки O .

Обозначение луча допустимо в двух вариациях: одной строчной или двумя прописными буквами латинского алфавита. При обозначении двумя буквами луч имеет название, состоящее из двух букв. Рассмотрим подробнее на чертеже.

Перейдем к понятию определения угла.

Угол – это фигура, расположенная в заданной плоскости, образованная двумя несовпадающими лучами, имеющими общее начало. Сторона угла является лучом, вершина – общее начало сторон.

Имеет место случай, когда стороны угла могут выступать в роли прямой линии.

Когда обе стороны угла расположены на одной прямой или его стороны служат как дополнительные полупрямые одной прямой, то такой угол называют развернутым.

На рисунке ниже изображен развернутый угол.

Точка на прямой – это и есть вершина угла. Чаще всего имеет место ее обозначение точкой O .

Угол в математике обозначается знаком « ∠ ». Когда стороны угла обозначают малыми латинскими, то для правильного определения угла записываются подряд буквы соответственно сторонам. Если две стороны имеют обозначение k и h , то угол обозначается как ∠ k h или ∠ h k .

Когда идет обозначение большими буквами, то соответственно стороны угла имеют названия O A и O B . В таком случае угол имеет название из трех букв латинского алфавита, записанные подряд, в центре с вершиной – ∠ A O B и ∠ B O A . Существует обозначение в виде цифр, когда углы не имеют названий или буквенных обозначений. Ниже приведен рисунок, где разными способами обозначаются углы.

Угол делит плоскость на две части. В случае, если угол не развернутый, тогда одна часть плоскости имеет название внутренняя область угла, другая – внешняя область угла. Ниже приведено изображение, объясняющее, какие части плоскости внешние, а какие внутренние.

При разделении развернутым углом на плоскости любая из его частей считается внутренней областью развернутого угла.

Внутренняя область угла – элемент, служащий для второго определения угла.

Углом называют геометрическую фигуру, состоящая из двух несовпадающих лучей, имеющих общее начало и соответствующую внутреннюю область угла.

Данное определение является более строгим, чем предыдущее, так как имеет больше условий. Оба определения не желательно рассматривать отдельно, потому как угол – это геометрическая фигура, преобразованная при помощи двух лучей, выходящих из одной точки. Когда необходимо выполнять действия с углом, то под определением понимают наличие двух лучей с общим началом и внутренней областью.

Определение смежных и вертикальных углов

Два угла называют смежными, если имеется общая сторона, а две другие являются дополнительными полупрямыми или образуют развернутый угол.

На рисунке видно, что смежные углы дополняют друг друга, так как являются продолжением один другого.

Два угла называют вертикальными, если стороны одного являются дополнительными полупрямыми другого или являются продолжениями сторон другого. На рисунке ниже показано изображение вертикальных углов.

При пересечении прямых получается 4 пары смежных и 2 пары вертикальных углов. Ниже показано на рисунке.

Сравнение углов

Статья показывает определения равных и неравных углов. Разберем какой угол считается большим, какой меньшим и другие свойства угла. Две фигуры считаются равными, если при наложении они полностью совпадают. Такое же свойство применимо для сравнения углов.

Даны два угла. Необходимо прийти к выводу, равные эти углы или нет.

Известно, что имеет место наложение вершин двух углов и стороны первого угла с любой другой стороной второго. То есть при полном совпадении при наложении углов стороны заданных углов совместятся полностью, углы равные.

Может быть так, что при наложении стороны могут не совместиться, то углы неравные, меньший из которых состоит из другого, а больший имеет в своем составе полный другой угол. Ниже изображены неравные углы, не совмещенные при наложении.

Развернутые углы являются равными.

Измерение углов

Измерение углов начинается с измерения стороны измеряемого угла и его внутренней области, заполняя которую единичными углами, прикладывают друг к другу. Необходимо посчитать количество уложенных углов, они и предопределяют меру измеряемого угла.

Единица измерения угла может быть выражена любым измеряемым углом. Имеются общепринятые единицы измерения, которые применяют в науке и технике. Они специализируются на других названиях.

Чаще всего используют понятие градус.

Один градус называют углом, который имеет одну сто восьмидесятую часть развернутого угла.

Стандартное обозначение градуса идет при помощи « ° », тогда один градус – 1 ° . Следовательно, развернутый угол состоит из 180 таких углов, состоящих из одного градуса. Все имеющиеся углы плотно уложены друг к другу и стороны предыдущего совмещены с последующим.

Известно, что количество положенных градусов в угле, это и есть та самая мера угла. Развернутый угол имеет 180 уложенных углов в своем составе. Ниже на рисунке приводятся примеры, где уложение угла идет в 30 раз, то есть одна шестая развернутого, и 90 раз, то есть половина.

Для точности определения измерения углов используются минуты и секунды. Их применяют, когда величина угла не является целым обозначением градуса. Такие части градуса позволяют выполнять более точные расчеты .

Минутой называют одну шестидесятую часть градуса.

Секундой называют одну шестидесятую часть минуты.

Градус содержит 3600 секунд. Минуты обозначают « ‘ », а секунды « ” ». Имеет место обозначение:

1 ° = 60 ‘ = 3600 ” , 1 ‘ = ( 1 60 ) ° , 1 ‘ = 60 ” , 1 ” = ( 1 60 ) ‘ = ( 1 3600 ) ° ,

а обозначение угла 17 градусов 3 минут и 59 секунд имеет вид 17 ° 3 ‘ 59 ” .

Градусная мера угла –это число, показывающее количество укладываний градуса в заданном угле.

Приведем пример обозначения градусной меры угла равного 17 ° 3 ‘ 59 ” . Запись имеет еще один вид 17 + 3 60 + 59 3600 = 17 239 3600 .

Для точного измерения углов используют такой измерительный прибор, как транспортир. При обозначении угла ∠ A O B и его градусной мере в 110 градусов применяют более удобную запись ∠ A O B = 110 ° , которая читается «Угол А О В равен 110 градусам».

В геометрии используется мера угла из интервала ( 0 , 180 ] , а в тригонометрии произвольная градусная мера имеет название углов поворота. Значение углов всегда выражается действительным числом. Прямой угол – это угол, имеющий 90 градусов. Острый угол – угол, который меньше 90 градусов, а тупой – больше.

Острый угол измеряется в интервале ( 0 , 90 ) , а тупой – ( 90 , 180 ) . Ниже наглядно изображены три вида углов.

Любая градусная мера любого угла имеет одинаковое значение. Больший угол соответственно имеет большую градусную меру, чем меньший. Градусная мера одного угла – это сумма всех имеющихся градусных мер внутренних углов. Ниже приведен рисунок, где показан угол АОВ, состоящий из углов АОС, СОD и DОВ. Подробно это выглядит так: ∠ A O B = ∠ A O C + ∠ D O B = 45 ° + 30 ° + 60 ° = 135 ° .

Исходя из этого, можно сделать вывод, что сумма всех смежных углов равна 180 градусам, потому что они все и составляют развернутый угол.

Отсюда следует, что любые вертикальные углы равны. Если рассмотреть это на примере, мы получим, что угол А О В и С О D – вертикальные (на чертеже), тогда пары углов А О В и В О С , С О D и В О С считают смежными. В таком случает равенство ∠ A O B + ∠ B O C = 180 ° вместе с ∠ C O D + ∠ B O C = 180 ° считаются однозначно верными. Отсюда имеем, что ∠ A O B = ∠ C O D . Ниже приводится пример изображения и обозначения вертикальных улов.

Кроме градусов, минут и секунд используется еще одна единица измерения. Она называется радианом. Чаще всего ее можно встретить в тригонометрии при обозначении углов многоугольников. Что же называют радианом.

Углом в один радиан называют центральный угол, который имеет длину радиуса окружности равную длине дуги.

На рисунке радиан изображается в виде окружности, где имеется центр, обозначенный точкой , с двумя точками на окружности, соединенными и преобразованными в радиусы О А и О В . По определению данный треугольник A O B является равносторонним, значит длина дуги A B равна длинам радиусов О В и О А .

Обозначение угла принимается за «рад». То есть запись в 5 радиан сокращенно обозначается как 5 рад. Иногда можно встретить обозначение, имеющее название пи. Радианы не имеют зависимости от длины заданной окружности, так как фигуры имеют некое ограничение при помощи угла и его дугой с центром, находящимся в вершине заданного угла. Они считаются подобными.

Радианы имеют такой же смысл, как и градусы, только разница в их величине. Чтобы это определить, необходимо вычисленную длину дуги центрального угла поделить на длину ее радиуса.

На практике используют перевод градусов в радианы и радианы в градусы для более удобного решения задач. Указанная статья имеет информацию о связи градусной меры с радианной, где можно подробно изучить переводы из градусной в радианную и обратно.

Обозначение углов на чертеже

Для наглядного и удобного изображения дуг, углов используют чертежи. Не всегда можно правильно изобразить и отметить тот или иной угол, дугу или название. Равные углы имеют обозначение в виде одинакового количества дуг, а неравные в виде разного. На чертеже изображено правильное обозначение острых, равных и неравных углов.

Когда необходимо отметить более 3 углов, используются специальные обозначения дуг, например, волнистые или зубчатые. Это не имеет столь важное значение. Ниже приведен рисунок, где показано их обозначение.

Обозначение углов должны быть простыми, чтобы не мешали другим значениям. При решении задачи рекомендовано выделять только необходимые для решения углы, чтобы не загромождать весь чертеж. Это не помешает решению и доказательству, а также придаст эстетичный вид рисунку.

Внутренний угол

Многоуго́льник — геометрическая фигура, обычно определяемая как часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной, звенья которой не пересекаются.

Содержание

Варианты определений [ | ]

Существуют три различных варианта определения многоугольника; последнее определение является наиболее распространённым.

Плоская замкнутая ломаная — наиболее общий случай;
Плоская замкнутая ломаная без самопересечений, любые два соседних звена которой не лежат на одной прямой;
Часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной без самопересечений — плоский многоугольник; в этом случае сама ломаная называется контуром многоугольника.

В любом случае вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а её звенья — сторонами многоугольника.

Связанные определения [ | ]

Вершины многоугольника называются соседними, если они являются концами одной из его сторон.
Стороны многоугольника называются смежными, если они прилегают к одной вершине.
Отрезки, соединяющие несоседние вершины многоугольника, называются диагоналями.
Углом (или внутренним углом) многоугольника при данной вершине называется угол, образованный его сторонами, сходящимися в этой вершине, и находящийся во внутренней области многоугольника. В частности, угол может превосходить 180°, если многоугольник невыпуклый.
Внешним углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, смежный внутреннему углу многоугольника при этой вершине. В общем случае внешний угол — разность между 180° и внутренним углом, он может принимать значения от −180° до 180°.

Виды многоугольников [ | ]

Многоугольник с тремя вершинами называется треугольником, с четырьмя — четырёхугольником, с пятью — пятиугольником и так далее. Многоугольник с n вершинами называется n -угольником.

Выпуклый многоугольник это многоугольник, который лежит по одну сторону от любой прямой, содержащей его сторону (то есть продолжения сторон многоугольника не пересекают других его сторон). Существуют и другие эквивалентные определения выпуклого многоугольника.
Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него равны все стороны и все углы, например равносторонний треугольник, квадрат и правильный пятиугольник.
Многоугольник, у которого равны все стороны и все углы, но который имеет самопересечения, называется правильным звёздчатым многоугольником, например, пентаграмма и октаграмма.
Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на одной окружности.
Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются некоторой окружности.

Свойства [ | ]

Сумма внутренних углов плоского n -угольника без самопересечений равна ( n − 2 ) ⋅ 180 ∘ >.
Число диагоналей всякого n -угольника равно n ⋅ ( n − 3 ) 2 <2>>>.

Площадь [ | ]

Пусть < ( X i , Y i ) >, i = 1 , 2 , . . . , n ,Y_)>,i=1,2. n>— последовательность координат соседних друг другу вершин n -угольника без самопересечений . Тогда его площадь вычисляется по формуле Гаусса:

S = 1 2 | ∑ i = 1 n ( X i + X i + 1 ) ( Y i − Y i + 1 ) | <2>>left|sum limits _^(X_+X_)(Y_-Y_)right|>, где ( X n + 1 , Y n + 1 ) = ( X 1 , Y 1 ) ,Y_)=(X_<1>,Y_<1>)>.

Квадрируемость фигур [ | ]

С помощью множества многоугольников определяется квадрируемость и площадь произвольной фигуры на плоскости. Фигура F называется квадрируемой, если для любого 0>”> ε > 0 0> 0″ /> существует пара многоугольников P и Q , такие что P ⊂ F ⊂ Q и S ( Q ) − S ( P ) ε , где S ( P ) обозначает площадь P .

kak.ufolabs.ru

Данные геометрические фигуры окружают нас повсюду. Выпуклые многоугольники бывают природными, например, пчелиные соты или искусственными (созданными человеком). Эти фигуры используются в производстве различных видов покрытий, в живописи, архитектуре, украшениях и т.д. Выпуклые многоугольники обладают тем свойством, что все их точки располагаются по одну сторону от прямой, что проходит через пару соседних вершин этой геометрической фигуры. Существуют и другие определения. Выпуклым называется тот многоугольник, который расположен в единой полуплоскости относительно любой прямой, содержащей одну из его сторон.

Выпуклые многоугольники

В курсе элементарной геометрии всегда рассматриваются исключительно простые многоугольники. Чтобы понять все свойства таких геометрических фигур необходимо разобраться с их природой. Для начала следует уяснить, что замкнутой называется любая линия, концы которой совпадают. Причем фигура, образованная ею, может иметь самые разные конфигурации. Многоугольником называют простую замкнутую ломаную линию, у которой соседние звенья не располагаются на одной прямой. Ее звенья и вершины являются, соответственно, сторонами и вершинами этой геометрической фигуры. Простая ломаная не должна иметь самопересечений.

Вершины многоугольника называют соседними, в том случае если они представляют собой концы одной из его сторон. Геометрическая фигура, у которой имеется n-е число вершин, а значит, и n-е количество сторон, называется n-угольником. Саму ломаную линию называют границей или контуром этой геометрической фигуры. Многоугольной плоскостью или плоским многоугольником называют конечную часть любой плоскости, им ограниченной. Соседними сторонами этой геометрической фигуры называют отрезки ломаной линии, исходящие из одной вершины. Они будут не соседними, если исходят их разных вершин многоугольника.

Другие определения выпуклых многоугольников

В элементарной геометрии существует еще несколько эквивалентных по своему значению определений, указывающих на то, какой многоугольник называется выпуклым. Причем все эти формулировки в одинаковой степени верны. Выпуклым считается тот многоугольник, у которого:

• каждый отрезок, что соединяет две любые точки внутри него, полностью лежит в нем;

• внутри него лежат все его диагонали;

• любой внутренний угол не превышает 180°.

Многоугольник всегда разбивает плоскость на 2 части. Одна из них – ограниченная (она может быть заключена в круг), а другая — неограниченная. Первую называют внутренней областью, а вторую – внешней областью этой геометрической фигуры. Данный многоугольник является пересечением (иными словами — общей составляющей) нескольких полуплоскостей. При этом каждый отрезок, имеющий концы в точках, которые принадлежат многоугольнику, полностью принадлежит ему.

Разновидности выпуклых многоугольников

Определение выпуклого многоугольника не указывает на то, что их существует множество видов. Причем у каждого из них имеются определенные критерии. Так, выпуклые многоугольники, у которых есть внутренний угол равный 180°, называются слабовыпуклыми. Выпуклая геометрическая фигура, что имеет три вершины, называется треугольником, четыре — четырехугольником, пять — пятиугольником и т. д. Каждый из выпуклых n-угольников отвечает следующему важнейшему требованию: n должно равняться или быть больше 3. Каждый из треугольников является выпуклым. Геометрическая фигура данного типа, у которой все вершины располагаются на одной окружности, называется вписанной в окружность. Выпуклый многоугольник называют описанным, если все его стороны около окружности прикасаются к ней. Два многоугольника называют равными только в том случае, когда при помощи наложения их можно совместить. Плоским многоугольником называют многоугольную плоскость (часть плоскости), что ограничена этой геометрической фигурой.

Правильные выпуклые многоугольники

Правильными многоугольниками называют геометрические фигуры с равными углами и сторонами. Внутри них имеется точка 0, которая находится на одинаковом расстоянии от каждой из его вершин. Ее называют центром этой геометрической фигуры. Отрезки, соединяющие центр с вершинами этой геометрической фигуры называют апофемами, а те, что соединяют точку 0 со сторонами – радиусами.

Правильный четырехугольник – квадрат. Правильный треугольник называют равносторонним. Для таких фигур существует следующее правило: каждый угол выпуклого многоугольника равен 180° * (n-2)/ n,

где n – число вершин этой выпуклой геометрической фигуры.

Площадь любого правильного многоугольника определяют по формуле:

где p равно половине суммы всех сторон данного многоугольника, а h равно длине апофемы.

Свойства выпуклых многоугольников

Выпуклые многоугольники имеют определенные свойства. Так, отрезок, который соединяет любые 2 точки такой геометрической фигуры, обязательно располагается в ней. Доказательство:

Предположим, что Р – данный выпуклый многоугольник. Берем 2 произвольные точки, например, А, В , которые принадлежат Р. По существующему определению выпуклого многоугольника эти точки расположены в одной стороне от прямой, что содержит любую сторону Р. Следовательно, АВ также имеет это свойство и содержится в Р. Выпуклый многоугольник всегда возможно разбить на несколько треугольников абсолютно всеми диагоналями, которые проведены из одной его вершины.

Углы выпуклых геометрических фигур

Углы выпуклого многоугольника – это углы, что образованы его сторонами. Внутренние углы находятся во внутренней области данной геометрической фигуры. Угол, что образован его сторонами, которые сходятся в одной вершине, называют углом выпуклого многоугольника. Углы, смежные с внутренними углами данной геометрической фигуры, называют внешними. Каждый угол выпуклого многоугольника, расположенный внутри него, равен:

где х – величина внешнего угла. Эта простая формула действует в отношении любых геометрических фигур такого типа.

В общем случае, для внешних углов существует следующие правило: каждый угол выпуклого многоугольника равен разности между 180° и величиной внутреннего угла. Он может иметь значения в пределах от -180° до 180°. Следовательно, когда внутренний угол составляет 120°, внешний будет иметь величину в 60°.

Сумма углов выпуклых многоугольников

Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника устанавливается по формуле:

где n – число вершин n-угольника.

Сумма углов выпуклого многоугольника вычисляется довольно просто. Рассмотрим любую такую геометрическую фигуру. Для определения суммы углов внутри выпуклого многоугольника необходимо соединить одну из его вершин с другими вершинами. В результате такого действия получается (n-2) треугольника. Известно, что сумма углов любых треугольников всегда равна 180°. Поскольку их количество в любом многоугольнике равняется (n-2), сумма внутренних углов такой фигуры равняется 180° х (n-2).

Сумма углов выпуклого многоугольника, а именно любых двух внутренних и смежных с ними внешних углов, у данной выпуклой геометрической фигуры всегда будет равна 180°. Исходя из этого, можно определить сумму всех ее углов:

Сумма внутренних углов составляет 180° * (n-2). Исходя из этого, сумму всех внешних углов данной фигуры устанавливают по формуле:

180° * n-180°-(n-2)= 360°.

Сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника всегда будет равна 360° (независимо от количества его сторон).

Внешний угол выпуклого многоугольника в общем случае представляется разностью между 180° и величиной внутреннего угла.

Другие свойства выпуклого многоугольника

Помимо основных свойств данных геометрических фигур, у них есть и другие, которые возникают при манипуляциях с ними. Так, любой из многоугольников может быть разделен на несколько выпуклых n-угольников. Для этого необходимо продолжить каждую из его сторон и разрезать эту геометрическую фигуру вдоль этих прямых линий. Разбить любой многоугольник на несколько выпуклых частей можно и таким образом, чтобы вершины каждого из кусков совпадали со всеми его вершинами. Из такой геометрической фигуры можно очень просто сделать треугольники путем проведения всех диагоналей из одной вершины. Таким образом, любой многоугольник, в конечном счете, можно разбить на определенное количество треугольников, что оказывается весьма полезным при решении различных задач, связанных с такими геометрическими фигурами.

Периметр выпуклого многоугольника

Отрезки ломаной линии, называемые сторонами многоугольника, чаще всего обозначаются следующими буквами: ab, bc, cd, de, ea. Это стороны геометрической фигуры с вершинами a, b, c, d, e. Сумма длины всех сторон этого выпуклого многоугольника называют его периметром.

Окружность многоугольника

Выпуклые многоугольники могут быть вписанными и описанными. Окружность, касающаяся всех сторон этой геометрической фигуры, называется вписанной в нее. Такой многоугольник называют описанным. Центр окружности, которая вписана в многоугольник, представляет собой точку пересечения биссектрис всех углов внутри данной геометрической фигуры. Площадь такого многоугольника равняется:

где r – радиус вписанной окружности, а p – полупериметр данного многоугольника.

Окружность, содержащую вершины многоугольника, называют описанной около него. При этом данная выпуклая геометрическая фигура называется вписанной. Центр окружности, которая описана около такого многоугольника, представляет собой точку пересечения так называемых серединных перпендикуляров всех сторон.

Диагонали выпуклых геометрических фигур

Диагонали выпуклого многоугольника – это отрезки, которые соединяют не соседние вершины. Каждая из них лежит внутри этой геометрической фигуры. Число диагоналей такого n-угольника устанавливается по формуле:

Число диагоналей выпуклого многоугольника играет важную роль в элементарной геометрии. Число треугольников (К), на которые возможно разбить каждый выпуклый многоугольник, вычисляется по следующей формуле:

Количество диагоналей выпуклого многоугольника всегда зависит от числа его вершин.

Разбиение выпуклого многоугольника

В некоторых случаях для решения геометрических задач необходимо разбить выпуклый многоугольник на несколько треугольников с непересекающимися диагоналями. Эту проблему можно решить путем выведения определенной формулы.

Определение задачи: назовем правильным некое разбиение выпуклого n-угольника на несколько треугольников диагоналями, пересекающимися только в вершинах этой геометрической фигуры.

Решение: Предположим, что Р1, Р2 , Р3 … , Pn – вершины этого n-угольника. Число Xn — количество его разбиений. Внимательно рассмотрим полученную диагональ геометрической фигуры Pi Pn. В любом из правильных разбиений Р1 Pn принадлежит определенному треугольнику Р1 Pi Pn, у которого 1 Количество правильных разбиений, пересекающих внутри одну диагональ

При проверке частных случаев, можно прийти к предположению, что число диагоналей выпуклых n-угольников равняется произведению всех разбиений этой фигуры на (n-3).

Доказательство данного предположения: представим, что P1n = Xn * (n-3), тогда любой n-угольник возможно разбить на (n-2)-треугольников. При этом из них может быть сложен (n-3)-четырехугольник. Наряду с этим, у каждого четырехугольника будет диагональ. Поскольку в этой выпуклой геометрической фигуре могут быть проведены две диагонали, это значит, что и в любых (n-3)-четырехугольниках возможно провести дополнительные диагонали (n-3). Исходя из этого, можно сделать вывод, что в любом правильном разбиении имеется возможность провести (n-3)-диагонали, отвечающие условиям этой задачи.

Площадь выпуклых многоугольников

Нередко при решении различных задач элементарной геометрии появляется необходимость определить площадь выпуклого многоугольника. Предположим, что (Xi. Yi), i = 1,2,3… n представляет собой последовательность координат всех соседних вершин многоугольника, не имеющего самопересечений. В этом случае его площадь вычисляется по такой формуле:

Как сделать углы на потолочном плинтусе

Как сделать угол на потолочном плинтусе, чтобы он выглядел аккуратным и красивым на любом профиле? Это задача не из легких для начинающих мастеров, т. к. далеко не каждый плинтус удается состыковать так, как этого бы хотелось. Существуют ли какие-либо правила и секреты мастерства у опытных специалистов?

В данной статье вы найдете ответы на наиболее частые вопросы, задаваемые новичками:

как стыковать потолочный плинтус;
как сделать внутренний угол потолочного плинтуса;
как стыковать потолочные плинтусы в наружных углах;
как подогнать плинтус, если стены стыкуются нестандартным образом.

Итак, обо всем по порядку.

Как стыковать?

Способы стыковки погонажа зависят от материала, а также от его декоративных особенностей. Например, массив желательно крепить на метизы. Большой вес профиля при внушительной ширине изделия потребует применения соответствующих саморезов. Клеевые растворы в данном случае будут ненадежны. Совсем другое дело, когда речь идет о пенопластовом или гипсовом профиле. Это довольно легкие и легко обрабатываемые планки, которые отлично держатся на клею и шпаклевке.

При совмещении двух или более планок необходимо учитывать угол сопряжения. На ровных участках применяется стыковка под 90 и 45 градусов. В первом случае погонаж просто торцуется, а во втором – подрезается по шаблону или при помощи стусла.

Общие рекомендации для формирования углов

При наличии рельефного или отпечатанного орнамента необходимо позаботиться о том, чтобы совмещение изображения было выполнено симметрично. В этом случае вы получите гармоничный переход от одного участка к другому.

Как правильно стыковать потолочный плинтус, если на нем имеется сложный рельеф или отпечатанный орнамент? Делая срез, обязательно учитывайте особенности рельефа и принта. При помощи зеркала найдите участок, который дает самое красивое совмещение рисунка. Для этого поставьте зеркало на планку под нужным углом и перемещайте его вдоль плинтуса вправо и влево, пока не будете удовлетворены результатом.

Помните о том, что на прямых участках стыки обычно не представляют особенной сложности, поэтому начинайте работу с угла. В этом случае монтаж будет выглядеть аккуратно и профессионально.

Как соединить потолочный плинтус в углах, чтобы он красиво смотрелся? Это можно сделать двумя способами:

при помощи шаблона или стусла запиливать галтель;
использовать заводские литые элементы.

Уголки для потолочных плинтусов обычно продаются вместе с галтелями. Вы можете подобрать для своего проекта любое количество прямых и угловых элементов. При этом учитывайте то, что когда вы имеете дело с углами больше или меньше 90 градусов, заводские элементы придется немного видоизменять и подгонять под размер.

Важно иметь при себе!

Шаблон. На листе картона проведите прямую линию, вдоль которой будет укладываться заготовка. Карандашом или маркером поставьте на ней точку. Затем при помощи обычного школьного транспортира обозначьте углы 90, 45 градусов. Проведите прямые линии через отметки так, чтобы при работе пилой вы их хорошо видели, и вам было легко ориентироваться;
стусло. Его можно приобрести в магазине или же соорудить из дощечки и пары брусков. Сделанный своими руками инструмент не менее удобен, чем фабричный. Однако существуют также универсальные стусла, в которых предусмотрена возможность отмерить любой угол и ровно сделать разрез заготовки.

Видео инструкция по использованию стусла

Видео инструкция по обрезке без стусла

Внутренние углы

Как состыковать потолочный плинтус во внутренних углах при простом рельефе? Для этого приготовьте подходящий инструмент.

Чтобы разрезать пенопластовый профиль, можно использовать ножовку по металлу или же раскаленную нихромовую проволоку. Подгонка горячим методом хороша тем, что проволочная нить быстро, почти мгновенно, делает разрез, не оставляя заусенцев и шероховатостей.

Для ламината, пластика, а также гипса подойдет полотно по металлу. Мелкие зубья позволят избежать ненужных сколов на плинтусах.

Как правильно запилить профиль под внутренний угол? Подобные углы имеют одну особенность. Они формируются элементами, у которых нижний край длиннее, чем верхний. Т. е. когда вы приложите их к потолку, то нижняя прижмется к стенам, а верхняя отступит вовнутрь. Получается, что верхний периметр плинтуса окажется меньше, чем нижний.

Исходя из этого, при запиле необходимо укорачивать именно потолочную часть галтели.

Уголки для потолочного плинтуса существенно облегчают задачу. Они уже имеют необходимую форму, поэтому достаточно их состыковать на прямом участке с галтелями. Для пластиковых моделей уголков используется соединение внахлест, тогда как для других материалов технология позволяет сделать стык на защелках.

Внешние срезы

Как стыковать потолочные плинтусы на внешних углах? Наружный угол формируется за счет укорачивания нижнего края профиля, т. к. верхний периметр будет больше, чем нижний.

Уголок для потолочного плинтуса подбирается в соответствии с размером, а также формой галтели. Используйте элементы из одной коллекции и партии.

Нестандартные ситуации

Зачастую сложность при монтаже вызывают эркеры. В них стены стыкуются под тупыми или острыми углами, для которых подходящих готовых элементов может и не отыскаться. Такой, с точки зрения евроремонтников, неправильный участок может доставить массу хлопот и испортить всю работу. Итак, как сделать внешние углы на потолочном плинтусе в этом случае?

Тупой

В данном случае стыковка потолочного плинтуса в углах осложняется тем, что готовые внутренние элементы будут выступать от стены на несколько миллиметров. Это некрасиво и портит весь вид. Что можно сделать?

Есть несколько простых решений:

плинтуса из пенопласта и пластика подогреть феном до размягчения, затем придать им необходимую форму, развернув им «плечи»;
гипсовые модели исправить нельзя, поэтому производится подгонка боковых элементов через запил под заданным углом, причем на тыльной стороне немного стесывается материал, чтобы подогнанный стык хорошо выглядел.

Острый

Как сделать угол потолочного плинтуса меньше 90 градусов? Подогнать углы в пластиковых моделях можно таким же образом, как было описано выше. Т. е. используя запилы и нагревание. Нужно иметь в виду, что ребра жесткости мешают изгибать деталь во время нагревания. Поэтому их нужно подрезать необходимым образом. Для внешнего сопряжения достаточно просто сделать надрез, а для внутреннего потребуется убрать часть перегородок, чтобы они не мешали правильному смещению «плечей» уголка.

Закругленный

Как стыковать углы потолочного плинтуса при формировании криволинейных форм? Для оформления закругленных углов необходимо разбить дугу на несколько участков. Их количество зависит от радиуса изгиба и длины дуги. Нарежьте необходимое количество коротких фрагментов из галтели и объедините их в одну конструкцию при помощи соединительных элементов, идущих в комплекте. Или просто подрезайте их под необходимым углом, если у вас не пластиковый, а пенопластовый или гипсовый профиль.

Вполне возможно, что соединяться пластик между собой просто так не захочет. Придется сзади немного подрезать ребра жесткости.

Как можно облегчить работу?

Используйте картонные макеты. Если это ваш первый опыт, то не помешает макет из картона в натуральную величину. Его изготовить достаточно просто. Зато он наглядно покажет, как сделать углы для потолочных плинтусов любого размера.

На потолок при помощи малярного скотча прикрепите лист бумаги. Обрисуйте очертания угла, как они выглядят на самом деле. Снимите лист, и на основании снятых мерок сделайте из плотного тонкого (не гофрированного) картона, фанеры или ДВП шаблон. Он поможет вам подогнать углы максимально точно.

Сам стык потолочного плинтуса может не совсем точно прилегать из-за имеющихся неровностей стены. Мелкие недочеты замечательно маскируются либо шпаклевочной смесью, либо подходящим герметиком. Вместе с тем стык потолочного плинтуса будет выглядеть безукоризненно, если использовать специальный инструмент.

В случае когда вам нужно собственноручно сделать ремонт на большой площади, имеет смысл арендовать или взять у знакомых на время торцовочную пилу с поворотной площадкой, позволяющей задавать любой угол резьбы в вертикальной и горизонтальной плоскости. С ее помощью раскрой может делаться за считаные минуты. Главное – правильно замерить угол, под которым стыкуются стены и потолок. Пила выставляется по уровню в нужное положение и производится пропил. Быстро и удобно. При этом нет жестких рамок, как у стусла. И можно задавать любое значение угла.

Как еще можно получить необходимую заготовку из пенопласта? Вам понадобится инструмент под названием «струна». Он состоит из блока питания, а также нихромовой нити, натянутой над столом на подходящей высоте. В данном случае заготовка кладется сверху нихрома согласно разметке на самом плинтусе либо на плоском шаблоне под струной. Потолочный плинтус как масло режется, а вопрос, как сделать углы нестандартного размера или формы, теряет свою остроту.

Как вы видите, оформить красивый переход от стен к потолку можно в любой ситуации, используя различный инструментарий, а также полученные вами знания.

внутренний угол плитки. что делать?

Здравствуйте! Плиточник подрезал плитку, положил. Сейчас все внутренние углы выглядят так. Честно говоря я в шоке. Уверяет, что швы будут красивые. Это реально исправить? Такие заметные сколы. поделитесь пожалуйста опытом. Поверить плиточнику и ждать окончательный результат или предпринимать какие-то меры?

Комментарии: 35

зоя касьянова

Пусть переделывает, такие “лохматые” края не закамуфлировать. Скорее всего у плиточника плохой резак или он неопытный.

Нравится: 1
Сохранить

HOMEFORM

Анастасия Воскресенскова по хорошему, это халтурная работа и пусть меняет все внутренние углы. Если это невозможно по каким либо причинам, то белый силикон аккуратненько (судя по плиточнику лучше чтобы силиконил не он)

Нравится: 1
Сохранить

Как сделать угол на потолочном плинтусе – пошаговое руководство

После ремонта потолка его вид будет незаконченным, если не установить плинтуса или иначе галтели. Они помогут скрыть мелкие недостатки и украсят комнаты. Правильно изготовленные уголки потолочного плинтуса являются удобным дополнением в тех случаях, когда необходимо сделать углы идеальными. Самое сложное в процессе их монтажа – это состыковка.

Назначение потолочного плинтуса

Его главные функции:

Эстетическая. Плинтус прикрывает неровности и стыки, делая переход от потолочной поверхности к стенам плавным и красивым, благодаря чему она приобретает завершенную форму.
Декоративная. Производителями выпускаются разные виды плинтусов. Многие из них имеют превосходный вид и способны привлекать к себе взгляд. По этой причине галтели могут быть украшением интерьера помещения, придающим ему неповторимость, стильность и оригинальность.

Но процесс, как сделать плинтус на потолок, непростой. Основная сложность заключается в отделке углов. Выполнить ее с первого раза удается редко. А ведь завершить работу нужно так, чтобы углы выглядели органично, а их элементы плотно между собой стыковались.

Подготовительные мероприятия

Прежде, как сделать на потолочном плинтусе углы, потребуется подобрать набор инструментов, состоящий из:

Стусло – не является очень сложным в использовании прибором, приобрести который можно в каждом магазине строительных материалов. Он состоит из пластикового или деревянного лотка с прорезями для ножовки. Отверстия располагаются так, чтобы можно было разрезать плинтуса под углом в 45 или 90 градусов. Реже у прибора имеется возможность выполнять обрезку под 60-градусным углом.

Наиболее сложные модели стусла позволяют делать такую работу в любом направлении и под разными углами за счет наличия поворачивающихся лезвий.

Выбор инструмента для резки

До того, как делать углы на потолочных плинтусах, необходимо выяснить, из какого стройматериала изготовлены галтели:

Пенополистирол. Этот материал чрезвычайно хрупкий, он легко крошится. Его преимущество заключается в доступной для многих потребителей цене. При работе с пенополистиролом по причине его хрупкости следует пользоваться ножом или ножовкой. При этом нельзя производить сильные нажатия, выполнять работу нужно максимально аккуратно и неторопливо, в противном случае плинтус поломается.
Поливинилхлорид. Изделия из него стоят недорого, но с ними также надо работать бережно. ПВХ плинтуса отличаются высоким показателем электростатичности и поэтому сильно притягивают пыль. Для резки таких изделий пользуются ножовкой или ножом.
Экструдированный пенополистирол. Галтели из этого материала прочны и надежны, но их стоимость выше, чем предыдущих образцов. Их сломать непросто, а при резке они не крошатся. Делая выбор, каким инструментом и как вырезать на потолочных плинтусах углы из этого материала, лучше всего воспользоваться строительным ножом или ножовкой, которые предназначаются для работы с изделиями из металла.
Дерево. Из древесины изготавливают самый прочный вид этих изделий. С этой надежной продукцией работать труднее всего по причине высокой сопротивляемости материала физическому воздействию. Деревянные плинтуса режут ножовкой, причем с мелкими зубчиками.
Полиуретан. Из него производят прочные плинтуса для потолочных поверхностей. У них имеется большой недостаток – изделия из полиуретана плохо реагируют на температурные перепады и отличаются чувствительностью к нагреву или холоду. Эти нюансы необходимо учитывать перед тем, как подрезать потолочный плинтус в углах.

В продаже имеется специальная фурнитура, которая облегчает процесс установки галтелей. Это уголки для потолочного плинтуса. Они помогают скрыть всевозможные погрешности, возникающие при монтаже. В эти уголки следует просто вставить плинтуса. Нужно всего лишь обрезать галтель под прямым углом. Уголок прикроет имеющиеся погрешности.

Способы нарезки плинтусов

После того, как все приготовления завершены, выбран материал изготовления галтелей, остается только разрезать их красиво, чтобы не пришлось заново переделывать всю работу. Можно воспользоваться одним из способов нарезки: при помощи стусла или без него. Наиболее легким из них является первый вариант.

Углы на потолочных галтелях бывают внутренними и внешними. Перед тем, как приступить к выполнению работы, необходимо разобраться, как правильно вырезать потолочный плинтус.

Нюансы обрезки внутренних углов

Работу, связанную с тем, как сделать внутренний угол потолочного плинтуса, начинают с того, что изделие прикладывают к потолку. Это необходимо, чтобы отмерить требуемую длину детали.

Когда замеры завершены, плинтус устанавливают в подготовленное стусло. Его помещают так, чтобы расположение изделия в нем получилось точно таким, как на потолке.

Нужно левой рукой придерживать плинтус и следить, чтобы он плотно прилегал к стенке прибора. Отрезок, который предназначается для установки на потолок, должен располагаться сверху, а нижнюю часть прижимают ко дну стусла.

Лезвие ножовки поворачивают под углом в 45 градусов и начинают отрезать. Сам инструмент держат как можно ближе к левой руке и при резке сильно на него не нажимают. После того, как вырезать внутренний угол потолочного плинтуса под номером один удалось, приступают к работе со смежным изделием. Режут его аналогично, но наоборот, словно в зеркальном отражении.

Если галтели изготовлены из пенополистирола или поливинилхлорида, работу следует начинать с лицевой стороны, чтобы результат получился более аккуратным.

Создание наружного угла

Перед тем, как сделать внешний угол потолочного плинтуса, требуется выполнить соответствующие подсчеты и замеры, чтобы идеально обрезать изделие. Для этого измеряют расстояние, которое занимает деталь от угла на внешней стороне до ближайшей стенки.

На обратной стороне изделия проводят линию, очерчивающую требуемую длину, не забывая, что его верхняя часть слегка выступает наружу. После завершения замеров и подсчетов наружного угла потолочного плинтуса, приступают к дальнейшей работе.

Галтель помещают в стусло и аккуратно отрезают. Смежный плинтус отмеряют, как и предыдущий, не забывая оставлять запас. Обрезать надо в зеркальном отражении относительно первого отрезка.

Примерка полученного результата

Знания, как правильно срезать угол на потолочном плинтусе, помогут выполнить данную работу качественно. Полученные части галтелей прикладывают к потолку, чтобы посмотреть на результат. Место их стыковки должно получиться максимально ровным, без щелей и зазубрин.

Если обеспечить плотное прилегание сразу не получилось, не следует расстраиваться. Устранить недостатки поможет использование обычного ножа. С его помощью подрезают края изделия до тех пор, пока не получится искомый результат.

Обрезку плинтусов с применением стусла задействуют только в случае, когда угол между соседними стенами составляет 90 градусов, иначе обрезку приходится выполнять ручным способом.

Ручная обрезка плинтуса

При отсутствии возможности выполнять работу со стуслом, надо использовать другой метод. Перед тем, как сделать угол на потолочном плинтусе, желательно потренироваться на муляже галтели. Можно задействовать обрезки изделий, оставшихся после предыдущих работ.

По мнению специалистов, обрезка плинтуса без применения стусла получается более точной, так как позволяет аккуратнее и правильнее наметить создаваемый угол. Этим способом удобнее создавать у потолочного плинтуса внутренний угол. У ручной обрезки имеются и минусы – деревянную или полиуретановую галтель тяжело удержать на весу при проведении измерений.

Последовательность действий при этом будет следующей:

Предварительно подготовленным инструментом обрезают под прямым углом две заготовки.
Затем прикладывают планку к потолку так, чтобы она упиралась торцом в стену, находящуюся перпендикулярно плинтусу. Карандашом непосредственно на потолочной поверхности проводят линии контура гантели.
Аналогично поступают со смежной планкой и точно также прислоняют ее к потолку и при помощи карандаша прочерчивают линию.
После этого нужно внимательно посмотреть на получившееся изображение. Точка пересечения линий и станет местом, где следует отрезать плинтус. Не помешает перестраховаться. Для этого повторно прикладывают обе гантели к потолку и на самих изделиях обозначают место для осуществления обрезки. От данного места к другому концу плинтуса прочерчивают линию. Затем согласно всем нанесенным пометкам отрезают галтели.
После завершения процесса обрезки их стыкуют между собой и прикладывают к потолку там, где планируется установка.

Если после того, как сделан внешний угол – потолочный плинтус выглядит неровно, имеются щели, просветы или прочие погрешности, не следует торопиться и переделывать всю работу. Устранить недостатки поможет герметик или шпаклевка. Ими можно аккуратно и быстро заполнить имеющиеся пустоты, не испортив внешний вид галтели.

Самостоятельное изготовление стусла

Если имеются навыки работы с чертежами, можно попытаться своими руками изготовить подручный инструмент из бумаги. Для этого нужно подготовить картон, ватман или другую бумагу, транспортир, карандаш.

Шаблон изготавливают в следующей последовательности:

Сначала чертят две параллельные линии и определяют место, где находится их центр.
Затем используют транспортир, откладывая на бумаге с его помощью все необходимые углы.
Также, перед тем, как обрезать угол потолочного плинтуса, следует проверить расстояние между стенами при помощи специального уголка и измерить их транспортиром.
Галтели отрезают лишь после завершения всех манипуляций. Нужно не забывать, что правую часть детали обрезают с левой стороны, а левую, соответственно, с правой стороны. Что касается стусла, то в нем детали помещают наоборот. Правую часть – слева, а левую – справа.

Изготовление деревянного стусла

Имеется два способа, как можно сделать деревянный инструмент:

Первый вариант. Подготавливают деревянные доски в количестве трех штук. Если их под рукой не оказалось, то можно воспользоваться планками, изготовленными из дерева или фанеры. При помощи молотка и гвоздей сбивают из досок фигуру, имеющую форму буквы П. По бокам полученного изделия намечают углы, необходимые для выполнения работы и по ним делают надрезы. В результате получается подобие стусла, в котором ножовкой проделывают отверстия. В них вставляют плинтуса и выполняют обрезку.
Второй вариант. Представляет собой комбинацию стусла из бумажного шаблона и дерева. Понадобиться 2 доски или планки. Из них собирают фигуру в форме уголка. На ватмане прочерчивают линии, равные углу отреза в 45 или 90 градусов. До того, как сделать уголок из потолочного плинтуса, начертить можно любой угол – в этой особенности и заключается преимущество самодельного инструмента перед приобретенным готовым прибором. Галтель прикладывают к стуслу и прижимают ее левой рукой. Шаблон помещают на место, где будет разрез, и отрезают плинтус, в соответствии с линией, проведенной на бумаге.

Существует еще один способ, как заменить стусло из магазина. Он не подразумевает создание инструмента либо из дерева, либо из бумаги. Для этого потребуется только взять любые предметы, образующие угол. Например, это может быть деревянная столешница. До того, как обрезать плинтус, следует внимательным образом выполнять замеры. Чтобы наметить угол галтели, располагающийся внутри, длину отмерять следует именно от него.

Имеются нюансы в том, как сделать у потолочного плинтуса наружный угол – в этом случае для его наметки следует ориентироваться на то, что галтель будет выступать в помещение на расстояние, равное ширине изделия. В соответствии со всеми описанными подсчетами и производят разметку линий плинтусов.

Следует заметить, что работа, связанная с обрезкой галтелей, отличается сложностью и кропотливостью. Редко, когда у начинающего домашнего умельца получается правильно и аккуратно с первого раза отрезать изделия так, чтобы детали идеально подошли под свои места без появления щелей и зазоров.

В случае неудачи не следует отчаиваться, поскольку можно всегда переделать работу с ошибками путем заполнения пустого места шпаклевкой. Когда потолочные плинтуса с уголками будут установлены на свои места, потолок приобретет аккуратный и завершенный вид.

Читайте также: Интерьерная водоэмульсионная силиконовая краска

Внутренний угол

Геометрическая фигура угол: определение угла, измерение углов, обозначения и примеры

Определение угла

Определение смежных и вертикальных углов

Сравнение углов

Измерение углов

Обозначение углов на чертеже

Внутренний угол

Содержание

Варианты определений [ | ]

Связанные определения [ | ]

Виды многоугольников [ | ]

Свойства [ | ]

Площадь [ | ]

Квадрируемость фигур [ | ]

kak.ufolabs.ru

Выпуклые многоугольники

Другие определения выпуклых многоугольников

Разновидности выпуклых многоугольников

Правильные выпуклые многоугольники

Свойства выпуклых многоугольников

Углы выпуклых геометрических фигур

Сумма углов выпуклых многоугольников

Другие свойства выпуклого многоугольника

Периметр выпуклого многоугольника

Окружность многоугольника

Диагонали выпуклых геометрических фигур

Разбиение выпуклого многоугольника

Площадь выпуклых многоугольников

Как сделать углы на потолочном плинтусе

Как стыковать?

Общие рекомендации для формирования углов

Важно иметь при себе!

Видео инструкция по использованию стусла

Видео инструкция по обрезке без стусла

Внутренние углы

Внешние срезы

Нестандартные ситуации

Тупой

Острый

Закругленный

Как можно облегчить работу?

внутренний угол плитки. что делать?

Комментарии: 35

зоя касьянова

HOMEFORM

Похожие обсуждения

ArtDecor

Sofiastardesign

ZA ремонт

Анастасия Воскресенскова

ZA ремонт

Анастасия Воскресенскова

ZA ремонт

KEEPARIS interior bar

Студия дизайна “INTSTYLE”

ID project

зоя касьянова

Анастасия Воскресенскова

Kedon

Строй Код

“Арт-Деко” дизайн-студия

Kedon

Romanov Oleg

Дмитрий Евгеньевич

Дмитрий Евгеньевич

Артем V2 ARCHITECTS

Sweet Home

Наталья Преображенская | Студия “Уютная Квартира”

Ihtiyor Rustamov

Искусство Ремонта

artELLE-design

Hokon Russia

Анастасия Воскресенскова

ID project

зоя касьянова

РемСтройИнженер

FRIENDS INTERIOR DESIGN

Дизайн студия интерьера LOFT&HOME

Как сделать угол на потолочном плинтусе – пошаговое руководство